Eigenvalue & Eigenvector

볼 때 마다 새롭게 느껴지는 Eigenvalue와 Eigenvector이다. 한글로 번역해도 각각 고유값과 고유벡터라고 부르는데, 이를 나름 이해하기 쉽게 정리했다.

 

우선 그 정의들을 살펴보자. 

 

A) 행렬 A를 선형변환으로 봤을 때, 선형변환 A에 의한 변환 결과가 자기 자신의 상수배가 되는 0이 아닌 벡터를 고유벡터(eigenvector)라 하고 이 상수배 값을 고유값(eigenvalue)라 한다.

 

B) 선형대수학에서, 선형 변환의 고유 벡터(eigenvector)는 그 선형 변환이 일어난 후에도 방향이 변하지 않는, 0이 아닌 벡터이다. 고유 벡터의 길이가 변하는 배수를 선형 변환의 그 고유 벡터에 대응하는 고윳값(eigenvalue)이라고 한다.

 

...등등 분명 한글이지만 이해할 수 없는 단어들로 구성되어 있다. 이를 차근차근 단계별로 살펴보도록 하자.

 

우선, 정방행렬 A에 대한 다음 식이 eigenvector와 eigenvalue의 기본이 되는 식이다.

Ax = λx

위 식에서

A : 정방행렬

x : 0이 아닌 벡터

λ : 상수

이다. 이를 그림으로 나타내면 아래와 같다.

https://rfriend.tistory.com/181

위 식을 어떻게 계산하는지는 차치해두고, 위 식이 성립할 때의 x가 바로 A의 eigenvector, λ가 eigenvalue이다. 물론 x가 0인 경우 λ는 의미없이 전부 성립해버리니 x가 0이 아닌 벡터라는 조건이 달려 있다.

 

이제 위 식을 계산해보자.

간단한 우변을 먼저 계산하면, 단순히 x의 각 원소 x1,x2...xn에 λ를 곱해주면 된다.

조금 복잡한 좌변을 계산해보면, A의 각 행(가로줄)마다의 원소 각각 해당하는 x값을 곱해주면 된다. 위 그림은 복잡하니 3x3 정방행렬을 예시로 들어보면,

위와 같은 방식으로 계산하면 된다. 이 계산을 거치면 nxn의 정방행렬이 n 크기의 벡터가 되는데, 이 벡터값이 원래의 x벡터에 λ를 곱해 나올 수 있으면, 바로 그 값들이 고유벡터와 고윳값이 되는 것이다.

추가적인 예시를 들며 특성을 조금 알아보자. 우선, 대상 정방행렬 A는 다음과 같다.

이 때의 eigenvalue와 eigenvector는 다음과 같다.

λ = 7	λ = 2

여기서 기억해야 할 특성들은 

1) eigenvalue와 eigenvector는 한 정방행렬에서 여러개가 나올 수 있다.

2) 하지만 그 갯수는 nxn 정방행렬에서 최소 1개, 최대 n개이다.

의 두가지이다.