행렬 - 역행렬, determinant, norm

정방행렬	n X n 꼴의 정사각형 모양 행렬
단위행렬(E or I)	왼쪽 위에서 오른쪽 아래의 대각선 성분이 1이고, 나머지 성분이 모두 0인 정방행렬

 

역행렬(inverse matrix)이란, 어떤 정방행렬(A)에 곱하였을 때  그 결과가 단위행렬이 되는 행렬을 의미한다. 어떤 수 a에 그 역수 1/a를 곱하여 1이 되는 개념과 비슷하게 생각하면 쉽다. 행렬 A의 역행렬은 다음과 같이 표기한다.

 

역행렬에 관한 어렵지 않은 몇몇 개념들이 있다.

1) 어떤 행렬에 대해 그 역행렬은 단 하나뿐이다(유일하다)

2) 행렬과 역행렬의 곱은 순서를 바꿔도 성립한다.

행렬식(determinant)은 정방행렬에 대한 계산식으로, 행렬식의 값이 0일 경우 그 행렬의 역행렬이 존재하지 않는다는 것을 의미한다.

 

다음과 같은 행렬 A에 대해

 

그 행렬식은 다음과 같다.

착각하기 쉽게 절댓값과 같은 기호를 사용하지만, 행렬에 절댓값 기호가 씌여있는 경우 행렬식을 의미한다는 것에 주의하자. 여담으로 위의 행렬식에 절댓값을 하나 더 씌우는 경우가 그 행렬식의 절댓값을 의미한다.

하지만 이 식은 3X3 이상의 행렬 부터는 굉장히 복잡해지기 시작한다. 아래에 해당 공식을 가져다 놓았지만, 어차피 우리는 MATLAB을 사용하기 때문에 굳이 외울 필요는 없다.

이와 같은 행렬식은 앞서 말하였듯이

1) 그 행렬의 역행렬이 존재하는지 파악할 수 있을 뿐만 아니라

2) 기하학적으로도 아래의 사각형 넓이가 ad-bc의 행렬값과 같다. 같은 논리로 3X3 행렬의 경우에는 3차원 육면체의 부피를 의미하기도 한다. 

노름(norm)이란 어떤 행렬의 크기를 수치화 한 개념이라고 생각하면 쉽다. 앞서 행렬식에서 다루었던 절댓값이 두 번 씌인 행렬이 바로 norm이라고 생각하면 된다. 어째서인지 한글로 노름이라고 번역된 탓에 검색하기 상당히 까다로워졌다..

이 norm에는 다양한 종류가 있다. 아래의 행렬 A를 예시로 들어 각각의 norm을 구해보겠다.

1) 1 - norm

manhattan norm, taxicab norm이라고도 불린다. 1. 모든 원소값에 절댓값을 취하고 2. 각 열마다 모든 행을 합한 후 3. 그 중 최댓값을 구한 것이 1-norm이다. 기호는 절댓값 두 번을 씌운 행렬에 아래첨자 1.

행렬 A의 경우, 첫 열의 합 1+4+7 = 12, 두번째 열의 합 2+5+8 = 15, 세번째 열의 합 3+6+9 = 18 중 가장 큰 값인 18이 행렬 A의 1-norm이다.

반대로 각 행마다 모든 열을 합하고, 그 중 최댓값을 구한 경우를 maximum norm 혹은 infinity norm이라고 한다. 행렬 A의 경우 첫 행 1+2+3  = 6 / 두번째 행 4+5+6 = 15 / 세번쨰 행 7+8+9 = 24 중 가장 큰 값인 24가 해당한다. 기호의 경우 절댓값 두 번에 아래첨자 무한대 기호를 사용한다.

2) 2 - norm

Euclidean norm으로도 잘 알려져있다. 모든 원소의 제곱을 합한 값에 루트를 씌워 구하며, 두 점 사이의 거리를 구하는 공식과 비슷하다.  기호는 절댓값 두 번에 Euclidean의 E.

행렬 A의 경우, 1^2 + 2^2 + ~ + 9^2 = 285의 루트값인 16.88이 A의 2-norm일 것이다.

3) P - norm

앞서의 norm들을 일반화 한 norm으로, p에는 1 이상의 실수가 들어간다. p가 1일 경우 1 - norm, p가 2일 경우 2 - norm ~ 과 같은 형식이다. 

일견 식만 보았을 때는 상당히 복잡해 보이지만, 따지고 보면 1-norm과 2-norm만큼 간단하다. 예를 들어 p =3 인 3-norm의 경우, 모든 원소를 세제곱 한 것을 더한 후 이에 세제곱근을 씌우면 된다. 실제로 행렬 A의 p - norm (p =3)을 구해보면, 다음과 같다.

 

 

 

여기서, 앞서의 p - norm의 정의에 대해 생각해 보면 한 열의 값만 따지는 1 - norm과 모든 열의 합이 계산되는 p =1일때의 p - norm에 차이가 있다는 것을 알 수 있다. 사실 이건 vector의 norm의 경우 그 값이 같다고 볼 수 있는데, 벡터의 경우 모든 원소들이 한 줄로 나열되어 있기 때문이다. 따라서 1-norm의 경우에도 열이 단 하나뿐이니 모든 원소 절댓값의 합이 나오게 되고, p-norm과 그 값이 같아진다.